可換環層＝環付き空間 の上の加群層が最も使う。次の事実が重要。 セール／スワンの定理： ベクトルバンドル層の加群的な特徴付け＝局所有限階数自由加群 引き戻し公式： ℓΓ(φ#E) φ-|(ℓΓ(E)) グロタンディーク六演算の随伴公式 射影公式 そして、可換環層上…

インデックス： インデックス部分適用： 型注釈： 縮約： オーバーロード解決 オペレータ： 関連する略記： 無関係： 二乗、逆、転置、双対 δのオーバーロード解決は、内積があればそのまま合理化できるが、内積がないときは、なんとマーカーをオーバーロー…

テンソル{積}?{ベクトル}?空間 テンソルベクトル ： テンソル積ベクトル空間の要素 {マルチ | 複}ベクトル ： Vn = V×n の要素 マルチベクトルのテンソル{ベクトル}?化 ： Vn → V⊗n マルチベクトルの交代テンソル{ベクトル}?化 ： Vn → V∧n マルチベクトルの…

リー代数Lに対して、ベクトル空間Vに対する表現 ρ:L→End(V) があると、(L, V, ρ) がリー代数Lの表現＝L上のリー加群を定義する。Vが単なるベクトル空間ではなくて、可換環だとして、それをAと書く。ρ:L→End(A) が、特に ρ:L→Der(A) のとき、リー代数Lの微分…

省略 ： 書くべき情報を書かない。文脈から省略された情報は補う。 別名 短縮別名 別表記 : 別な書き方を準備するだけ。 乱用 乱用オーバーロード ： 辻褄は合わない。オーバーロード解決が必要。 基底に伴う相反写像 の例： ΞとΩが双対ペアで、ΞΩ = (Ξ, Ω, …

後でちゃんと書くことを忘れないために。 DOTN三号とCatPict〈キャットピクト〉：方針 関係する絵

微分幾何計算は、形式体系とその意味論を使えば良かったのだ。灯台下暗し！ なぜに気付かない。こんなときは、自分の頭を殴りたくなる。型記号 Vector Scalar Covector 型演算 × (-)n 定数記号 ∂i : Vector ωi : Covector ∂ : Vectorm ω : Covectorm πi : Sc…

E3 はR3と同型なアフィン空間で、大域座標を持つ多様体。内積も持つのでリーマン多様体。座標は、内積を保存する大域線形座標を使うが、それでも座標の選び方は多様性がある。 ユークリッド座標： E3→R3 ユークリッド・ホロノーム座標： TE3→R3×R3 ユークリ…

関数やセクションに関して、次の言葉を使う。 一点 p で…… 一点 p の周りで…… 一点 p の近傍で…… 一点 p の無限小近傍で…… 各点〈すべての点〉で…… 各点〈すべての点〉の周りで…… 各点〈すべての点〉の近傍で…… 各点〈すべての点〉の無限小近傍で…… 局所的に…

多様体Mと任意の部分集合S（空でもよいし、Mでもよい）のペア (M, S) を染み付き多様体〈stained manifold〉と呼ぶ。(M, S), (N, T) を2つの染み付き多様体として、fはS上のN値ジャームとする。S⊆U⊆openM であるUからの局所写像 U→N の同値類がジャーム。ジ…

さまざまな関手／オペレータと微分の表示 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)のまとめ＋α。6番から先が追加。 インターベース・バンドル射←→BaseFibベア・バンドル射 イントラベース・バンドル射→加群射 イントラベース・バンドル射←→セクション 関数…

以下の内容をひとつの記事にまとめる。 ベクトルバンドル射の逆写像： 記法の整理をかねて - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) バンドルと層の記法 まとめ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) バンドルと層の記法 追加 - 檜山正幸のキマイラ飼育…

生成単位θを持つ自己豊饒圏Cで、 [θ, A]C A in C が成立する。これが成立するθを生成単位と呼ぶから、同語反復だが。事例： 圏 生成単位 Set 1 PtSet 2 VectK K R-Mod R VectBdl[M] RM Sh[X] 1` R-Mod-Sh[X] R [θ, A]C A in C を要素・ポインター・同型と呼…

本編 さまざまな関手／オペレータと微分の表示 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) に関連して。 は、接バンドルのホロノーム座標のファイバー成分 は、余接バンドルのホロノーム座標のファイバー成分 は、ユークリッド空間Rn値関数のヤコビアン 次の…

快適な微分計算のための圏と微分公式微分の解析的な定義。無限次元でも通用する。無限次元でもノルムがあれば内部ホムが定義可能。部分写像 f:V⊇X→W の定義、X = def(f)。内部ホムと内部演算。フルカリー化はハット記号。要素・ポインター変換。微分コンビネ…

ビッグサイトから巨大サイトへ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) の公理を冗長部分を省いて述べると： Cの開射の圏Oは： 広い部分圏。 すべての始射を含む。 すべての同型射を含む。 任意の射による引き戻しで閉じている。 一方で、多様体類似物とチ…

亜群を空間とみなしての幾何がある。層も使う。この分野で第一に挙げるべきは： Title: Equivariance In Higher Geometry Authors: Thomas Nikolaus, Christoph Schweigert Pages: 42p URL: https://arxiv.org/abs/1004.4558 関連するスライドは： Title: Ge…

ドミニオンについては： 紆余曲折、ドミニオン - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 ドミニオンの定義は； 小さい対称モノイド圏 モノイド否定（厳密対合）を持つ。 組み合わせ基底を持つ。 ドミニオンがコンパクト閉構造 (￢, η, ε) を持つとき、コンパ…

ドミニオン 「ドミニオン」を採用した理由は： 小さく、 よく統治されている。 ドミニオン〈dominion〉の定義は： 台は、小さい対称モノイド圏Cである。 モノイド否定 (￢, δ) が載っている。 特定された組み合わせ基底 B⊆|C| を持つ。 モノイド否定〈monoid…

strictly involutive symmetric monoidal vertically-and-horizontally contravariant endo-functor 長い！ ので、モノイド否定〈monoidal negation〉またはテンソル否定〈tensor negation〉と呼ぶことにする。category with monoidal negation は、symmetri…

ドミニオンをテンソル・ドミニオンと呼ぶことにする。厳密対合とやせた亜群は条件に入る。極性 p:D→{+, -}* も仮定する。A→￢A という射が自然変換として割り当てられているときは相反的テンソル・ドミニオンと呼ぶ。 ベクトル空間のテンソル・ドミニオン。…

次の記事で、 接微分と余接微分、射影関係式 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 接微分 と余接微分 を紹介した。ちなみに、“TeXのスクリプト体＝\mathscr＝カリグラフィー体”でTを書いている。プロファイルは、 : Man→Φ-Mod-Sheaf-| Man→Φ-Mod-Sheaf|-…

テンソル空間の定義： テンソル因子の情報が本質的 テンソルの定義： プロファイル情報が本質的 テンソルと“テンソルの線形写像”は異なる概念： テンソル x に対してその写像 map(x) を x と書くことにする。「x = y ⇒ x = y」は成立しない。 係数域は体では…

計算の利便性を追求した結果、凄まじいオーバーロード（多義的使用）を使う習慣が定着してしまった。今更どうにもならないので、必要に応じて区別して解釈する。 Mは多様体 UはMの開集合 x:U→Rn は局所座標 は、関数または関数タプルを右から掛ける掛け算記…

2019年5月3日/4日に連投している。 ヤコビ表示とヤコビ形式 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 ヤコビ表示変換＝ゼー関手 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 ヤコビ表示関手＝Д関手 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 二種類のヤコビ表示…

射影公式 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 微分の上昇と下降 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 多様体のあいだの写像に、その接微分〈tangent differential〉と余接微分〈cotangent differential〉を対応させる。 接微分関手 余接微分関手 圏…

上昇： ascent, ascend up to 下降：descent, descend down to 言葉に慣れる必要がある。多様体 M, N のあいだの写像 f:M→N に対して、その微分 df がどこに居るか？ を考える。Mの接ベクトル層〈tangent vector sheaf〉を次のように定義する。 fの接ベクト…

サイトの各空間（対象）に、n-集合を割り当てるのがn-前層 F。n-前層Fがあるとき、降下データのシステムはn-圏になる。n-前層Fの値 F(U) から、降下データのシステム D(F, U) への分解〈disassembly〉 disF:F(U)→D(F, U) が、n-圏のn-同値であるとき、n-前層…

参考：微分幾何で上付き・下付きアスタリスクを使い過ぎるのはよくない - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) 参考：線形代数の星座 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 インターバンドル射 イントラバンドル射 バンドルセクション 内部ホム バンド…

ポンサンのテキスト（https://orbilu.uni.lu/bitstream/10993/14274/1/MM4-9November2011.pdf）のP.46の命題15に次の式が出ている。なお、rは実際はドイツ文字（\mathfrak）で 。同じページ内に、Xの定義は と書いてあるので、次でも同じ。括弧と演算子を少…