幾何っぽい
以前も書いたが： 場 1 接続付きバンドル 場 2 セクション 外部空間 底空間 内部空間 ファイバー 外部自由度／対称性 底空間への群作用 内部自由度／対称性 ファイバーへの群作用 外部無限小変換 ベクトル場、流れの微分 内部無限小変換 構造群のリー代数元 …
クラインのエルランゲン・プログラム： エルランゲン・プログラム 教授就任の講演だったのは知ってたが、1872年（150年前）、23歳だってぇー。不変量云々はいいとして、「群Gが空間Sに作用している状況」を考える、という方針に注目する。この状況をクライン…
エーレスマン接続にはエーレスマン分裂完全列、主接続〈カルタン接続〉にはアティヤ分裂完全列が付随するようだ。π:E→M を任意のファイバーバンドルとして、エーレスマン接続があるとする。すると、ベクトルバンドルの完全列 0→Ker(Tπ)→TE→TM→0 ができる。が…
リー群からリー代数を作る関手をリー線形化関手〈Lie Linearlization Functor〉と呼び、LLと記す。 LL:LieGrp→LieAlg バンドル構成〈bundle construction〉 (-)-Bdl[-] により、リー群バンドルとリー代数バンドルが作れる。 LieGrp-Bdl[M] LieAlg-Bdl[M] グ…
バンドルチャートとホロノーム座標 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 これは便利だ、物理的な言葉 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 ホロノーム座標／ホロノーム・バンドルチャート／ホロノーム・フレームなどは、やはり混乱を招きそう。意訳…
次の理論達はすべて表層理論だ。 共変微分（コジュール接続）の理論 主接続（カルタン接続）の理論 エーレスマン接続の理論 平行移動の理論 背後にあるウル理論〈Ur-theory〉（原理論、理論のイデア）は 接続のウル理論 「接続」という概念的実体（イデア）…
参考： バンドルチャートとホロノーム座標 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 自明バンドルとホドグラフ変換 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 便利！ アクティブ変換とパッシブ変換：フレーム付きベクトル空間 V = (V, f:Rn→V) において、 行…
ベクトル空間のアーベル群を構造群とする主バンドルはアフィン（空間の）バンドル。特に、底空間を時間空間としてアフィンバンドルはニュートン／ガリレイ・バンドル。アフィンバンドルのフレーム場はアフィンフレーム場。ニュートン／ガリレイ・バンドルの…
F→U が自明バンドル F=U×V のとき、ΓU(F)→Map(U→V) をセクションのホドグラフ変換〈hodograph transformation〉と呼ぶ。自明バンドルの最大の特徴・メリットは、ホドグラフ変換が標準的一意的に決まること。 典型ファイバーVのバンドルFが自明化可能 ⇔ ホド…
バンドルチャートとは： バンドルの全空間Eのチャート E⊇→R2m 定義域が E|U バンドル射になっている バンドル反チャートも同様。Eのチャートがバンドルチャートである必要はないが、たいていはバンドルチャート。xをMの局所座標〈チャート〉として、xのホロ…
U ⊆open M E→M はベクトルバンドル VはEの典型ファイバーのベクトル空間 G = Aut(V) L = Gのリー環 Exp:L→G は指数写像 自明バンドル上の平行移動Πが calculable 〈微積計算可能〉とは： [U×L] はLファイバーの自明バンドル A∈Γ([U×L])Ω(U) これは平行移動形…
ベクトル空間： Vect = Vect-Bdl[1] ： ベクトル空間と線形写像 MetVect = MetVect-Bdl[1] ： 計量ベクトル空間〈内積ベクトル空間〉と線形写像 IsometMetVect = IsoMetVect-Bdl[1] ： 計量ベクトル空間と等長線形写像 ベクトルバンドル： Vect-Bdl[-] ： ベ…
隆起函数 「函数」使っているよ、、、 Leeの本の p.46 "Bump Functions and Partitions of Unity" Non-analytic smooth function Leeの本は、For t ＞ 0, exp(-1/t) から始まる。
代数幾何の場合：結局、Eはベクトルバンドル。Eの条件がきびしいが、引き戻ししてるから。ベクトルバンドルじゃないと、うまく引き戻しできない。前送りはなんでもできるから気にしないでいい。セクション空間の同型性の基本定理。
微分ベクトルバンドルとその準同型 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編の訂正・続き。「微分作用素が付いた」の意味で「微分〈differential〉」を形容詞に付けるのは一般的でないようだ。次のようにする。 共変微分＝コジュール接続 共変微分付き＝コジ…
differential bundle は、Robin Cockett, Geoffrey Cruttwell が使っている。ここでは、 differential vector bundle = vector bundle with covariant derivative DiffVectBdl[-] を定義するが、下部構造にVectBdl[-] がいる。本編記事 訂正＋α： 逆方向グロ…
"with connection"の意味で"Connectioned"を使うことにする。 ゲージ場＝Connectioned Principal Bundle=ConnPrinBdl 微分ベクトルバンドル＝DiffVectBdl 同伴構成関手＝Ass関手は、ConnPrinBdl(G) × Rep(G) → DiffVectBdl という関手で： 接続付きG主バンド…
[追記]これはドミニオンの話だ。[/追記]添字構造〈index structure〉とは、 Xは有限集合の集合である。 D:X→X は写像である。 For I∈X, dI:I→D(1) は写像の族である。 次の条件を満たす。 Xは、空集合を含む。 Xは、少なくとも1個の単元集合を含む。 I, J∈X …
ダイレクトインデキシングを使うときは、 index i, j, k∈I basis-of A index a, b∈J basis-of B このインデックス宣言〈{スカウテン | スハウテン}宣言〉のもとで、xi,ja,k,b と書くと、テンソルxの型は、添字を下から上に読んで B,A,B → A, A だとわかる。…
呼び名： Vk の要素 ＝ ベクトル横k-タプル (V*)k の要素 ＝ コベクトル縦k-タプル Rk の要素 ＝ スカラー縦k-タプル Rk の要素 ＝ スカラー横k-タプル 積＝双線形写像 を定義する。dim(V) = n で、k は任意の自然数 Vk × Rk →V k-スパニング (V*)k × V →Rk …
反変ベクトルと共変ベクトル -- これはイカンわ、ダメなヤツだわ。因習的微分幾何や物理で出てくるヤツ。まったく分からんヤツ。とりあえずは、特定のベクトル空間Vに対して、Vの要素が反変ベクトル、Vの双対空間の要素が共変ベクトル。が、ベクトル空間はフ…
多様体上では、「変数xに関する微分」は意味を持つ。が、「変数」は「関数」の意味で、「多様体上の座標成分関数xに対する微分」が意味を持つ。 変数＝座標成分関数 という記号はダメな記号だ。もう使わないほうがいい。 でよい。の使い所は限定的で： 標準…
X, Y∈Der(A)、f, g∈A のような記号を使う。X:A→A で、ライプニッツ法則を満たす。微分適用Dとリー括弧Lは、 D:Der(A)×A→A, D(X, f)∈A L:Der(A)×Der(A)→Der(A), L(X, Y)∈Der(A) 一般に、f:A×B→C が二項演算のとき、 f = f(-, -) 右カリー化 f∩(-) = f(-):A→[B…
ベクトル場と導分の対応は、可微分性補題が鍵だと分かった。まず、言葉の準備。 {偏}?微分係数 {偏}?導関数 {偏}?微分作用素 点導分 P, Q 領域導分 X, Y 対応は、 代数的・公理的 解析的・具体的 点導分 微分係数汎関数 領域導分 微分作用素 古臭いが、 汎関…
ベクトルバンドルの手前の概念で、ベクトルファミリーを定義する。 位相空間の各点にベクトル空間が付いている。 各ベクトル空間は有限次元ですべて同型（標準的同型ではない！） 個々のベクトル空間には位相があるが、全体としての位相はない。 ベクトルフ…
本編の 微分はライプニッツ法則に支配されている - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) の拡張として、ベクトル場と関数環の導分の対応がある。しかし、単なる代数的導分ではどうもうまくいかない。「導分←→ベクトル場」対応ではなくて、「導分層←→ベク…
アダマールの補題ってのがある。 https://ncatlab.org/nlab/show/Hadamard+lemma これは、テイラー／マクローリン展開の精密化になっているから、アダマール形式のテイラー／マクローリン展開と言っていいと思う。アダマール商を作用とみなして、アダマール…
多様体を考えるとき、マテリアル解釈とスペース解釈がある。M→M という自己同型射を考えるときも、解釈は： Mmaterial→Mspace Mmaterial→Mmaterial Mspace→Mspace がある。いつでもこういう解釈が必須というわけではないが、概念の理解に解釈が役にたつかも…
[追記]層論化、まじめに考えると大変だわ。[/追記]層論化前層から層を作る層化とは別に、「ナニカの層論化」がある。定式化する。Cが圏のとき、SがTopの部分圏（Topへの埋め込みを持つ圏）だとして、グロタンディークサイトの構造を持たせる。この状況で、 …
ゲージ不変性の意味するところ： 記述の客観性（観測者の無差別性） パッシブ・ゲージ変換に対する同変性 対象物形状の対称性 アクティブ・マテリアル変換に対する不変性 これはまったく違う。しかし、区別が難しい。ゲージ概念とマテリアル変換概念が基本。…
