腑に落ちない。確率密度関数を使うから“わけわからん”のだと思う。Sは確率的圏〈stochastic category〉（ジリィ型モナドから作られたマルコフ圏）として、統計モデル（と呼ばれるマルコフ核） M:Θ→*X in S がある状況を考える。何らかの意味でベイズ反転して…

線形回帰とゲルファント変換 雑音と誤差は同義語。雑音構造付き圏〈category with noise structure | 誤差構造付き圏〉とは、(C, Adm, Noi) でって、 Cはマルコフ圏 AdmはCdetの広い部分圏 Noiはモノイド・モダリティで、Noi(X)⊆EndC(X) であるもの。 公理：…

プロファイルに関するアノテーションを括弧に入れて下付きとする。 P(X,Y) ： X×Y上の同時確率分布、プロファイルは 1→X×Y、(X,Y|) だけど、一部省略。 P(Y|X) ： XからYへのマルコフ核。プロファイルは X→Y、これを逆順（反図式順）に Y|X と書く。 P(X) ：…

次のどうってない公式が、実は重要だと気付いた。 For A, B⊆X, Δ-1(A×B) = A∩B （対角公式） 積事象が、A×B か A∩B かが不明なのは、この公式で同一視しているからだろう。A, B を可測空間Xの事象〈可測集合〉（シグマ代数の要素）だとして考えると次の可換…

演算子記号と括弧をケチって短く書くのは愚行。 fXgh = f・(X▷(g・h))

現在作業中のメモ。 SG ： 単純グラフの圏 □ ： ボックス積 I ： 単頂点離散グラフ hom(-, -) = [-, -] ： ホムグラフ として： (SG, □, I, α, λ, ρ) はモノイド圏になる。 (SG, □, I, α, λ, ρ, [-, -]) はモノイド閉圏になる。 随伴ペア（の族） (-)□A -| […

結局、スパイダーの絵にキチンと対応する多線形代数 -- 多圏ベースの線形代数を作らないとダメなんだと思う。多線形代数における行列として多行列〈polymatrix〉を定義して、多行列の計算体系が多圏のなかでどう解釈されるかを明示しないと曖昧さは解消しな…

ベクトル空間に基底を取ると： 勝手に内積が入ってしまう。（内積空間の圏への標準的関手がある） 基底付き空間の圏はデカルト圏になってしまう。（標準的デカルト構造がある） 双対反変関手を厳密対合にできてしまう。 テンソル計算は、これらの基底の能力…

ダイレクトインデキシングを使うときは、 index i, j, k∈I basis-of A index a, b∈J basis-of B このインデックス宣言〈{スカウテン | スハウテン}宣言〉のもとで、xi,ja,k,b と書くと、テンソルxの型は、添字を下から上に読んで B,A,B → A, A だとわかる。…

圏の列 C0, ..., Cn-1 と、包含忘却関手 Jk:Ck→Ck-1 をn段のパレス〈n-stage palace〉と呼ぶ。ヤコビ微分圏の下部構造である半加法芯付きデカルト圏は、2段のパレスで、第0段（stage 0）がデカルト圏で、第1段が半加法圏であるもの。1段のパレスは単なる圏。…

ゲルファンド対応： 特別 一般 ゲルファンド対応 ベクトル←→余形式 フレーム ←→ 余座標 コード対応 コベクトル←→形式 コフレーム ←→ 座標 さらに、フレームとコフレームのあいだにはコンパニオン対応がある。 フレーム（プライマル） ←→ コフレーム（コンパ…

ゲルファンド変換は複数あったようだ。これは、意外に大発見かもしれない。 v :R →V ベクトル ----------------------------- ゲルファンド化 v^ :V*→R 双対空間の形式 a :V*→R 双対空間の形式 ------------------------------ 反ゲルファンド化 `a: R→V ベ…

分かったぞ！！ レイヤー1 1-指標 1-モデルの1-圏 アンビエントの1-圏 レイヤー0 0-指標 0-モデルの0-圏 アンビエントの0-圏 レイヤー0が不明だったが、 0-指標とは、集合の内包的記法 アンビエント 0-圏とは、内包的記法のコンテキスが定義するドメイン 0-…

n-セオリーとインスティチューション - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編に書いてあることが我ながら凄いな。なんで気付いたのだ？最近とは用語法・記法が違うので対応表。 過去 最近 Σk kΣ Ak kA k-Spef[-] (-)-kSig k-Mod[-] (-)-kAlg Ck なし Ck…

気付いた！考えた時系列にだいたい沿って書く； ゲージ群G、ファイバーFの自明バンドルの圏を考える。バンドル射は底写像を考えるが底写像は可逆とする。この状況で、バンドル射は可逆となるので、自明バンドルの圏は亜群となる。これを (G, F)-自明バンドル…

偏微分を∂を使って書く習慣、いまさらどうにもならないが、意味なかった。d/dx でよかった。∂/∂x は不適切な記法だった。(∂/∂xi)i∈1..n と (dxi)i∈1..n は互いに双対基底〈双対フレーム〉なのだが、この点を合理化するにも次の習慣が良かった気がする。v = […

雑多かつ順不同。XがA上のM-値導分のとき、X(a) = 0 であるaは、X方向に定常〈stationary〉と呼ぶ。すべての方向に定常なAの要素は定常元〈stationary element〉と呼んでいい。「定数」でもいいが、「定数」は別な意味で使いたいから「定常」にする。 定常で…

代数的な導分〈derivation〉と解析的な微分の関係。「微分する＝テーラー展開する」だ。n階（n回）までの微分の情報は、n次までのテーラー展開に完全に含まれる。だから、オラクル〈神託〉でテーラー展開がもらえれば、それはもう微分できたことになる。問題…

ファイバーバンドル (E, B, F, π) のゲージとして、E|U→V×F の形のバンドル同型射をとる。ゲージは、多様体の同型射 U→V （V⊆Rn）に載ったバンドル同型射になる。ゲージ群としては、最も広い変換群である Aut(F) を取る。Aut(F) の定義の詳細は割愛するが、…

昨日書いた記事 "ゲージ理論としてのノル／ニュートン力学 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編" に補足。昨日記事の大筋はいいのだが、若干の誤認が含まれる。ニュートン場＝ニュートン・ゲージ系＝ニュートン／ユークリッド／ガリレイ・ファイバーバン…

ノル〈Walter Noll〉の論説をチラチラ読んでいる。 Title: Five Contributions to Natural Philosophy (2004) Author: Walter Noll Pages: 78p URL: http://www.math.cmu.edu/~wn0g/FC.pdf 目次： [0] Introduction 1 [1] On the Illusion of Physical Space…

ベクトル微分系と対数微分系 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 の続き。抽象微分多様体（ADM）は、一般に AM = Ω0M -- Md0 → Ω1M -- Md1 → ... -- Mdr → ΩrM という層の系列で決まる。rを抽象微分多様体の次数〈degree〉と呼ぶことにして、次数rの抽…

内積を持つ3次元空間の特殊事情がある。 V*の要素（コベクトル）が、内積によりVの要素とみなせる。 外積空間 V∧V の要素が、ホッジ双対によりVの要素とみなせる。 SO(3)のリー環である歪対称行列〈反対称行列 | 交代行列〉の空間がたまたま3次元なので、適…

集合・構造 要素 ゲージ群 ゲージ群元 ゲージ変換群 ゲージ変換 ゲージ関数群 ゲージ関数 主バンドルアトラス ゲージ（チャート） バンドルセクション空間 ゲージ（セクション） 集合とその要素がゴチャゴチャ、局所的な議論と大域的な議論が区別されてない…

粒子（質点）の運動： γ:I→M 無限小剛体の運動： γ:I→Frame(M, SO(n)) フレームバンドル＝SO(n)主バンドル 有限領域の運動: U×I:→M 無限小剛体は、別に有限でもいいのだが、領域とか形状とかが余計な情報になるから無限小にしておく。無限小剛体の運動は、フ…

主バンドルとは限らない一般の構造群無指定のファイバーバンドルでも、分裂完全列により接続を定義することができる。主バンドルとは違い、大域群作用に関する同変性は不要。この例は、線形代数→ベクトルバンドル理論 の良い例。(E, B, F, π)がファイバーバ…

整理されてないなー。まず、群（モノイドでもいいが）のC表現とは、 F:G→C in CAT という関手で、Gの唯一の対象を*として、F(*)を表現対象（当然にCの対象）と呼ぶ。Fの射部分〈morphism part〉は、G→AutC(A) （Aは表現対象）という群準同型写像になる。Fの…

分裂完全列については： https://en.wikipedia.org/wiki/Split_exact_sequence (P, B, G, π, ρ) を主バンドルとする。 Pは全空間 Bは底空間 Gは構造群であり典型ファイバー〈{typical | standard} fiber〉 πは射影 ρは、GのPに対する右作用 リー群Gのリー環…

制約も変更も2-射なんだけど、 制約は単に、関係のあいだの包含関係。 変更は、関係のあいだのスパンまたはコスパンで定義する。 スパンを選ぶかコスパンを選ぶかは趣味の問題だが、r⊇s⊆t という形でコスパンと決めることにする。 制約は包含関係 変更は包含…

ヤコビ表示関手は、ベクトルバンドル射の圏から、加群層の圏への関手を与えるが、どうも二種類あるようだ。 引き戻し型ヤコビ表示関手： 底写像が f:X→Y のとき、ヤコビセクションはX上のセクション（層の大域元）になる。 前送り〈押し出し〉型ヤコビ表示関…